NOIP2005复赛 普及组 第2题 校门外的树(枚举)

1. 题目翻译

题目描述

小学生小智在校门外玩耍，看到了一棵高高的树。他想估算一下树的高度，请你帮忙。

小智告诉你他站在树的正下方，抬头看到树顶的角度为 $\alpha$ 度，他走了 $d$ 米之后发现角度变为 $\beta$ 度，用这些数据帮他算出树的高度是多少。（不考虑小智眼睛高度与树底水平面的高差）

输入格式

输入包含三个整数 $d, \alpha, \beta$，其中 $1 \leq d, \alpha, \beta \leq 90$。

输出格式

输出一个实数，保留两位小数，表示树的高度。

提示

本题涉及三角函数运算，需要使用 $\rm C++$ 中的数学库函数

输入样例

10 25 30

输出样例

12.59

2. 思路分析

这道题其实是一道计算几何的题目，要求我们通过已知的角度和距离来求解高度。

首先，我们可以将问题抽象成一个平行四边形，如下图所示:

假设我们取一个点 $X$ 作为树的顶端，那么不难发现我们可以将平行四边形划分成两个三角形，其中一个是以 $X$ 为顶点，以 $Y_1, P$ 为底边的三角形，另一个是以 $X$ 为顶点，以 $Y_2, Q$ 为底边的三角形。因此，我们需要通过求解这两个三角形，来得到树的高度。

因为我们已知了距离 $d$ 和两个角度 $\alpha$ 和 $\beta$，因此我们可以计算出各个三角函数的值。具体来讲，我们可以用下面的公式求出 $XQ$ 和 $YP$ 的长度：

$$ XQ = d \cdot \tan\beta $$

$$ YP = d \cdot \tan\alpha $$

然后，我们可以通过下面的公式，来计算出树的高度 $h$：

$$h = XQ \cdot \tan\beta + YP \cdot \tan\alpha $$

这道题的代码不难实现，不过需要注意的是，我们需要将角度转化成弧度，通过 math 库中的 tan 来计算三角函数的值。

3. 参考代码

下面是能够通过本题的参考代码：