如何编写递归函数来求解问题？

递归函数是一种非常常见的编程方法，可以用来解决很多问题。它的本质就是一个函数自己调用自己，这也是递归函数的特别之处。递归函数可以用来解决许多数学问题，例如阶乘，斐波那契数列等问题，同时也常用于图论算法，深搜，广搜，回溯等常见算法。

递归函数的设计

编写递归函数要从以下两个方面考虑：

① 确定递归边界条件

递归边界是递归函数中最基本的部分。因为递归函数无限循环会导致程序死锁，一旦进入循环，就很难跳出。所以规定一个递归结束的条件是非常必要的。递归边界是保障递归函数正常运行并得到正确的输出的基石。所以在设计递归函数时，首要考虑的就是递归边界。

② 编写递归式

递归函数由两个部分构成：递归式和终止条件。递归式指的是函数中需要重复递归的部分，例如斐波那契数列的递归式就是f(n) = f(n-1) + f(n-2)。但是，递归式必须满足一定的限制，不能无限递归下去，否则程序就会死锁。因此，我们在编写递归式时需要注意，递归式要满足自我减少的条件，逐步缩小问题的规模，以便最终跳出边界函数。

递归函数的使用

递归函数分为两种用法：

? 直接递归

直接递归就是指函数直接调用自身。例如，求斐波那契数列的实现：

def fib(n):

    if n <= 1:

        return n

    return fib(n-1) + fib(n-2)

这里，我们定义了一个fib(n)函数，它在内部先检验是否满足递归边界条件n<=1，如果不满足，则调用自己，f(n-1)和f(n-2)分别代表n-1和n-2的斐波那契数。每次递归f(n)时，它会“减少”问题规模：变成了求f(n-1)和f(n-2)，最终在递归边界时直接返回斐波那契数。

? 间接递归

间接递归是指函数之间相互递归调用。例如，在两个函数之间递归时，函数A负责递归调用B，而函数B则负责调用A。一个典型的例子是汉诺塔问题：

def hanoi(n, a, b, c):

    if n == 1:

        print(a, "->", c)

    else:

        hanoi(n-1, a, c, b)

        hanoi(1, a, b, c)

        hanoi(n-1, b, a, c)

在函数hanoi()中，我们定义了函数hanoi()，并定义接收的参数有n, a, b, c，分别表示盘子的数量，开始塔、中间塔和目标塔等。我们首先检测递归边界条件，如果n等于1，只需要把 个塔上的盘子移动到第三个塔去。否则，我们先把n-1个盘子从塔a移动到塔b，再将剩下的一个盘子从塔a移动到塔c，最后将n-1个盘子从塔b移动到塔c。

递归函数的优缺点

优点：递归函数可以大大简化问题，解决一些特定的问题。它可以使问题更加清晰，更容易理解和维护。对于一些递归问题，在程序运行的过程中可以避免用不必要的内存。

缺点：递归函数也有缺点，一是当函数中嵌套很深时，递归会带来很多开销，需要多次函数调用和多次函数栈入栈出栈；二是递归函数中的变量无法持久化，如果需要计算的量很大，则会涉及到很多的重复计算。

总结

递归函数是一种非常简单但非常有用的编程方法，它可以使程序逻辑更加清晰，同时也可以避免冗余代码和代码复杂度。在编写递归函数时，我们应该首先确定递归边界条件，然后编写递归式，循序渐进地缩小问题规模，以便最终的递归结果正确而高效。