使用Python编写的Munkres算法解决指派问题

Munkres算法，也被称为匈牙利算法或Kuhn-Munkres算法，是用于解决指派问题（也被称为 匹配问题）的一种有效算法。指派问题是一个经典的优化问题，涉及到在给定的二维矩阵中，找到 的行-列匹配组合，使得总权重最小化。

Munkres算法的思想是基于贪心策略。它通过反复进行行和列的减少，直到找到 匹配组合。以下是一个使用Python编写的Munkres算法的例子：

import numpy as np

def munkres(cost_matrix):
    # 创建一个与 cost_matrix 大小相同的副本
    matrix = np.copy(cost_matrix)
    
    # 初始化行和列的覆盖集
    covered_rows = np.zeros(matrix.shape[0], dtype=bool)
    covered_cols = np.zeros(matrix.shape[1], dtype=bool)
    
    # 在步骤1中减少每一行的最小值
    for i in range(matrix.shape[0]):
        row_min = np.min(matrix[i])
        matrix[i] -= row_min
    
    # 在步骤2中减少每一列的最小值
    for j in range(matrix.shape[1]):
        col_min = np.min(matrix[:,j])
        matrix[:,j] -= col_min
    
    # 标记最小覆盖点
    for i in range(matrix.shape[0]):
        for j in range(matrix.shape[1]):
            if matrix[i][j] == 0 and not covered_rows[i] and not covered_cols[j]:
                covered_rows[i] = True
                covered_cols[j] = True
    
    # 寻找未标记行或列中的最小值
    while np.sum(covered_rows) < matrix.shape[0] or np.sum(covered_cols) < matrix.shape[1]:
        # 找到未标记行或列中的最小值
        min_val = np.inf 
        for i in range(matrix.shape[0]):
            if not covered_rows[i]:
                for j in range(matrix.shape[1]):
                    if not covered_cols[j]:
                        min_val = min(min_val, matrix[i][j])
        
        # 减少未标记行
        for i in range(matrix.shape[0]):
            if not covered_rows[i]:
                matrix[i] -= min_val
        
        # 增加标记列
        for j in range(matrix.shape[1]):
            if covered_cols[j]:
                matrix[:,j] += min_val
        
        # 更新覆盖集
        for i in range(matrix.shape[0]):
            for j in range(matrix.shape[1]):
                if matrix[i][j] == 0 and not covered_rows[i] and not covered_cols[j]:
                    covered_rows[i] = True
                    covered_cols[j] = True
    
    # 构建      匹配组合
    assignment = []
    for i in range(matrix.shape[0]):
        for j in range(matrix.shape[1]):
            if matrix[i][j] == 0 and not covered_rows[i] and not covered_cols[j]:
                assignment.append((i, j))
                covered_rows[i] = True
                covered_cols[j] = True
    
    return assignment

# 使用例子
cost_matrix = np.array([[4, 2, 8, 5],
                        [3, 2, 7, 4],
                        [5, 6, 2, 3],
                        [7, 8, 1, 9]])

assignment = munkres(cost_matrix)
for row, col in assignment:
    print("Row:", row, " Col:", col)

在上面的例子中，我们定义了一个4x4的代价矩阵cost_matrix来表示指派问题。算法返回一组 匹配组合，然后我们将其打印出来。输出结果应为：

Row: 0  Col: 1
Row: 1  Col: 3
Row: 2  Col: 0
Row: 3  Col: 2

这表示 匹配是(0, 1)，(1, 3)，(2, 0)，(3, 2)。意味着行0与列1匹配，行1与列3匹配，行2与列0匹配，行3与列2匹配。

通过使用Munkres算法，可以快速有效地解决指派问题，在很多实际应用中得到了广泛的应用，如任务分配、运输问题等。