Python函数实现矩阵相乘

1. 矩阵相乘

矩阵相乘是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的操作。矩阵相乘的条件是 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例如，一个 $2 \times 3$ 的矩阵 $A$ 和一个 $3 \times 4$ 的矩阵 $B$ 相乘得到一个 $2 \times 4$ 的矩阵 $C$。矩阵 $C$ 中的每个元素是矩阵 $A$ 的对应行和矩阵 $B$ 的对应列的乘积之和。

$$

A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix},

B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{bmatrix},

C=\begin{bmatrix}38&44&50&56\\83&98&113&128\end{bmatrix}

$$

2. Python函数实现矩阵相乘

为了实现矩阵相乘，我们可以使用Python中的多维数组numpy.ndarray。numpy.ndarray是一个n维数组对象，它是一个通用的容器，可以容纳任意类型的元素。由于numpy.ndarray是一个数组对象，它可以实现高效的数学运算，包括矩阵相乘。

下面是一个用Python函数实现矩阵相乘的例子：

import numpy as np

def matmul(A, B):
    C = np.zeros((A.shape[0], B.shape[1]))
    for i in range(A.shape[0]):
        for j in range(B.shape[1]):
            for k in range(A.shape[1]):
                C[i,j] += A[i,k] * B[k,j]
    return C

在该函数中，我们首先创建一个大小为 $A$ 的行数和 $B$ 的列数的全零数组 $C$。然后，使用三重循环计算 $C$ 中的每个元素。对于 $C_{i,j}$，我们使用 $A$ 的第 $i$ 行和 $B$ 的第 $j$ 列中的对应元素相乘并求和，得到 $C_{i,j}$ 的值。

该函数使用 numpy.zeros 创建一个全零数组，该数组的大小为 $(A.shape[0], B.shape[1])$，这意味着它具有 $A$ 的行数和 $B$ 的列数。使用 A.shape[0] 和 B.shape[1] 而不是 A.shape 和 B.shape，是因为我们只需要最外层的维度，即矩阵的行数和列数。

为了计算矩阵乘积，我们使用三重循环。 重循环迭代 $A$ 的行，第二重循环迭代 $B$ 的列，第三重循环迭代矩阵的公共维度 $k$，即 $A$ 的列和 $B$ 的行。在内部循环中，我们计算 $C_{i,j}$ 的值，方法是将 $A_{i,k}$ 和 $B_{k,j}$ 相乘并将积添加到 $C_{i,j}$ 中。最后，我们返回矩阵乘积。

要使用该函数，我们只需要将两个矩阵作为参数传递给该函数即可：

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # 2x3 矩阵
B = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]) # 3x4 矩阵
C = matmul(A, B) # 矩阵相乘
print(C) # 输出结果

输出结果为：

[[ 38.  44.  50.  56.]
 [ 83.  98. 113. 128.]]

结果与我们之前计算的结果相同。

3. 总结

本文介绍了Python函数如何实现矩阵相乘的方法。我们首先介绍了矩阵相乘的定义和条件，然后介绍了使用numpy.ndarray和Python函数实现矩阵相乘的方法。矩阵相乘是线性代数中一个基本的概念，广泛应用于机器学习和人工智能等领域中。我们希望该文章能够帮助读者理解矩阵相乘的概念和方法，并在实际应用中发挥作用。