使用Python函数实现递归函数斐波那契数列

斐波那契数列是一个非常经典的数列，其定义是：前两个数是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。如下所示：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

我们可以使用递归的方式来实现斐波那契数列的生成。递归函数是一种直接或间接调用自己的函数，可以解决一类问题的方法。在斐波那契数列中，我们可以通过定义一个递归函数来实现生成数列的功能。

在Python中，我们可以定义一个递归函数fibonacci来生成斐波那契数列。代码如下：

def fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return "输入错误，请输入正整数"
    elif n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

在这个递归函数中，我们首先判断输入的n是否为正整数，如果不是则返回错误信息。接下来，我们判断n是否等于1或2，如果是的话，则返回1，这是数列的前两个数。如果n大于2，我们则调用递归函数来计算n-1和n-2两个位置上的数，然后将它们相加。

但是这个递归函数在计算过程中存在一些问题。它存在大量的重复计算，尤其是在计算较大的斐波那契数时，计算量会急剧增加，导致程序的效率非常低下。为了解决这个问题，可以使用动态规划的方式来优化递归函数。

动态规划是一种将问题分解成子问题然后逐个求解，最后得到最优解的方法。在斐波那契数列中，我们可以使用一个列表来保存已经计算过的值，以避免重复计算。

代码如下：

def fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return "输入错误，请输入正整数"
    
    fib_list = [0, 1, 1]
    
    for i in range(3, n+1):
        fib_n = fib_list[i-1] + fib_list[i-2]
        fib_list.append(fib_n)
    
    return fib_list[n]

在这个优化后的代码中，我们首先判断输入的n是否为正整数，如果不是则返回错误信息。接下来，我们创建一个列表fib_list来存储已经计算过的斐波那契数。列表中初始值是[0, 1, 1]，即数列的前三个数。然后我们使用一个for循环来计算从第四个位置到第n个位置的数，将它们添加到列表中。最后返回列表中的第n个数。

这样，通过使用动态规划的优化方法，我们可以大大提高计算斐波那契数列的效率。