C++关于树的定义全面梳理

树（Tree）是一种重要的非线性数据结构，它具有分层结构和递归定义的特点，广泛应用于计算机科学、生物学、数学和语言学等领域。树结构可以提高数据访问、插入和删除的效率，让问题变得更简单、更快速。

一、树的定义

通常来说，树是由n（n>=1）个节点组成的有限集合，其中：

1. 每个节点都有一个称为“根”的节点，根节点没有父节点；

2. 每个非根节点都恰有一个父节点；

3. 除根节点外，每个节点都有零个或多个子节点；

4. 有同一父节点的子节点之间互为“兄弟”；

5. 以任意节点为根的子树是由其子节点及子节点的子节点组成的节点集合。

二、树的相关术语

1. 根节点（Root）：树的顶部节点，没有父节点，通常用r表示。

2. 父节点（Parent）：左上方的节点称为父节点，如果一个节点有子节点，则该节点称为其子节点的父节点。

3. 子节点（Child）：树中每个节点可能都包含0个或多个子节点。

4. 兄弟节点（Sibling）：拥有共同父节点的节点互为兄弟节点。同样，兄弟节点中位置更低的节点称为“左兄弟”，位置更高的称为“右兄弟”。

5. 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点称为叶子节点，也称为终端节点。

6. 子树（Subtree）：以某个节点为根节点的所有节点和边的集合称为此节点的子树。也就是说，任意一个节点都可以作为一个树的根节点。

7. 节点高度（Height）：从该节点到树的底部的最长路径（边数）。叶子节点的高度为0，根节点的高度为整棵树的高度。

8. 节点深度（Depth）：根节点到该节点的路径所包含的边数。因此，根节点的深度为0。

9. 节点层数（Level）：节点在树中的深度加1。

三、树的类型

1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。

2. 完全二叉树（Complete Binary Tree）：除了最后一级外，每一级的节点数都是满的，并且最后一级的节点尽可能地从左边开始填充。

3. 二叉搜索树（Binary Search Tree）：左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。

4. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。

5. B树（B-tree）：多路搜索树，每个节点有多个子节点，适合磁盘上的大量数据存储。

6. 红黑树（Red-black Tree）：一种自平衡的二叉搜索树，确保任何一个节点的左右子树的高度差小于两倍。

7. AVL树（AVL Tree）：一种自平衡二叉搜索树，可以确保在树中任何节点的左右子树高度差最大为1，查询效率较高。

8. 2-3树（2-3 Tree）：能够存储一、两、三个子节点的多叉树。

9. 2-3-4树（2-3-4 Tree）：一种通用的平衡树，其所有非叶子节点都具有两个或三个子节点。

四、树的应用

1. 文件系统：磁盘目录结构就是一棵树，每个目录都是一个节点，每个目录里有零个或多个子目录。

2. 图像处理：许多图像处理算法中都需要对二维图像进行处理时，可将二维图像构建为一棵二叉树。

3. 数据库：使用B树或其变体来实现许多数据库引擎。

4. 数学：用于描述计算机科学和数学中的许多问题，如组合学、概率论和代码理论等。

5. 编程：许多基本数据结构，如堆、哈希表和优先队列等可以用树来实现。同时许多算法基于树的形式，如分治法和搜索算法等。

6. 无障碍计算机：可通过树结构来访问和管理无障碍设备和用户接口，如触摸屏和语音控制等。

总的来说，树结构在计算机科学中发挥着广泛而重要的作用，是许多高效算法和数据结构的基础。不仅如此，学习和理解树结构将有助于对递归算法和问题建立深刻而实用的认识，是每个程序员必须掌握的数据结构之一。