用Python函数实现动态规划算法

动态规划（Dynamic Programming）是一种经典的算法设计技术，可以用于处理诸如最小成本路径、最长公共子序列等问题。使用该技术，可将一个复杂问题划分成多个子问题，然后在计算这些子问题的解时，以一种递归的方式使用一些普通的计算步骤计算它们。

在Python中，使用@functools.lru_cache(None)装饰器可以缓存函数执行的结果，从而加快函数的执行速度。这项技术依赖于将函数的参数和输出缓存到一个哈希映射表中，可以在后续调用期间重复使用结果。

下面是Python函数的基本结构，用于实现动态规划算法：

from functools import lru_cache

@lru_cache(None)
def dp_function(state):
    if state.base_case():
        return state.base_case_value()
    best_value = None
    for sub_state in state.possible_next_states():
        sub_value = dp_function(sub_state)
        if update_if_necessary(sub_value, best_value):
            best_value = sub_value
    return best_value

该函数接受状态“state”作为参数，并返回一个表示该状态的最优值的数字。它遵循以下模式：

- 如果当前状态是一个基本情况，则返回与该情况对应的基本情况值。

- 否则，通过尝试所有可能的下一步状态来计算出当前状态的最优值，并在遍历所有可能的状态后返回该最优值。

其中“update_if_necessary(sub_value, best_value)”是一个帮助程序，用来比较两个数字，并在 个数字小于等于第二个时更新第二个数字。这个函数的参数是sub_value和best_value，返回值是True或False。

这个基本的模式可以用于解决许多问题。下面我们来看几个示例。

1. 最长递增子序列

给定一个由n个整数组成的序列a，其中0≤ai≤10^5。找到序列的最长递增子序列LIS。

例如，如果a = [2, 8, 7, 1, 3, 5, 6, 4]，则LIS为[2, 3, 5, 6]，其长度为4。

基本思想：

对于每个数字ai，尝试将其作为LIS的新元素。通过遍历之前的所有元素aj（0≤j<i）来计算以ai结尾的最长子序列的长度。如果存在aj<ai，我们就可以将ai追加到aj的LIS上，并与之前的LIS长度进行比较。

代码实现：

def longest_increasing_subsequence(a):
    n = len(a)
    @lru_cache(None)
    def dp(i):
        best = 1
        for j in range(i):
            if a[j] < a[i]:
                best = max(best, 1 + dp(j))
        return best
    return max(dp(i) for i in range(n))

2. 钢条切割

给定一个长度为n英寸的钢条和一个价格表pi，确定钢条的最大收益，通过在不同的长度处割开并卖出。

例如，当n = 10时，若pi = [1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]，则最优收益为30。

基本思想：

钢条切割问题具有最优子结构和重叠子问题，因此可以使用动态规划解决。我们用r[n]表示长度为n的钢条的最大收益，r[0]=0。对于长度为i的钢条，可以尝试将其切割成长度为j和长度为i-j两段。因此，最大收益为r[i-j]+r[j]（无需切割收益为0）。

代码实现：

def cut_rod(price, n):
    @lru_cache(None)
    def top_down(n):
        if n == 0:
            return 0
        return max(price[j] + top_down(n - j - 1) for j in range(n))
    return top_down(n)

3. 0/1背包问题

给定一组物品，每种物品有一个确定的重量和价值。将这些物品放入容量为W的背包中，可以放入一个物品或一个物品的一部分（但不能只放入物品的一部分），使得放入背包中的物品的总价值最大。

例如，如果容量为W=50，且物品重量数组w=[10, 20, 30]，物品价值数组v=[60, 100, 120]，则总价值的最大值为220。

基本思想：

定义“m [i] [w]”为将前i个物品放入容量为w的背包中可以获得的最大价值。对于每个物品i，可以选择拿或不拿。如果将其放入背包中，则总价值应加上其价值；如果不拿，则总价值不需要增加。

代码实现：

def knapsack(weight, value, capacity):
    @lru_cache(None)
    def solve(i, w):
        if i == len(weight):
            return 0
        if weight[i] > w:
            return solve(i + 1, w)
        return max(value[i] + solve(i + 1, w - weight[i]), solve(i + 1, w))
    return solve(0, capacity)

4. 最长公共子序列（LCS）

给定两个序列a和b，求它们的最长公共子序列。

例如，如果a = 'ABCBDAB'，b = 'BDCABA'，则它们的LCS为'BCBA'。

基本思想：

定义“m [i] [j]”为在a的前i个字符和b的前j个字符中找到的最长公共子序列的长度。如何求解m [i] [j]？如果a [i-1] == b [j-1]，则m [i] [j] = m [i-1] [j-1] + 1；否则，m [i] [j] = max（m [i-1] [j]，m [i] [j-1]）。

代码实现：

def longest_common_subsequence(a, b):
    n, m = len(a), len(b)
    @lru_cache(None)
    def dp(i, j):
        if i == n or j == m:
            return 0
        if a[i] == b[j]:
            return 1 + dp(i + 1, j + 1)
        return max(dp(i + 1, j), dp(i, j + 1))
    return dp(0, 0)

总结：

在Python中，使用@functools.lru_cache(None) 装饰器可以缓存函数执行的结果，从而提高函数的执行速度。动态规划是一种经典的算法设计技术，它可以用于解决诸如最小成本路径、最长公共子序列等问题。具体实现时，我们需要以一种递归的方式计算问题的子问题，并重复使用已经计算过的子问题的解。