compute_gradient()函数的实现及梯度计算原理

compute_gradient()函数是用于计算函数在某一点的梯度的函数。梯度是多元函数在某一点沿着最陡峭方向的方向导数。

梯度的计算原理是利用偏导数的概念。对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其梯度记作?f(x1, x2, ..., xn)或grad(f)，可以表示为一个向量，其中每个分量对应函数分别对每个自变量的偏导数。

在数学上，偏导数是多元函数在某一点沿着某个坐标轴的斜率。因此，要计算函数在某一点的梯度，只需分别对每个自变量求偏导数，并组成一个向量，即可得到梯度向量。

下面是一个示例代码，用于计算函数f(x1, x2) = x1^2 + x2^3在点(1, 2)处的梯度：

def compute_gradient(f, point):

    # 初始化梯度向量

    gradient = []

    

    # 遍历每个自变量

    for i in range(len(point)):

        # 对每个自变量求偏导数

        partial_derivative = partial(f, i)

        derivative = partial_derivative(point)

        

        # 将偏导数添加到梯度向量中

        gradient.append(derivative)

    

    return gradient

# 定义函数f及其偏导数

def f(x):

    return x[0]**2 + x[1]**3

def partial(f, i):

    # 偏导数的定义

    def partial_derivative(x):

        h = 1e-6

        x1 = list(x)

        x2 = list(x)

        x1[i] += h

        x2[i] -= h

        return (f(x1) - f(x2))/(2*h)

    

    return partial_derivative

# 计算梯度

gradient = compute_gradient(f, [1, 2])

print(gradient)

在上述代码中，compute_gradient()函数接受一个参数f和point。f是要求梯度的函数，point是要求梯度的点的坐标。

函数内部首先初始化一个空的梯度向量gradient。

然后，通过遍历每个自变量，分别对每个自变量求偏导数。其中，partial()函数是用于计算某个自变量的偏导数的函数。它接受两个参数f和i，其中f是要求偏导数的函数，i是当前自变量的索引。partial()函数返回一个函数partial_derivative，用于计算偏导数。

在partial_derivative()函数内部，我们使用数值逼近的方式来计算偏导数。首先，我们将函数f在点point的第i个自变量的值分别增加和减少一个很小的h，得到两个新的点x1和x2。然后，我们根据偏导数的定义，将函数在x1和x2的值代入公式，计算出偏导数的近似值。

最后，将每个偏导数的近似值添加到梯度向量gradient中。

最后，输出梯度gradient。在上述示例中，输出的结果为[2, 12]，即函数在点(1, 2)处的梯度向量为[2, 12]。这意味着在点(1, 2)处，函数沿着x1轴的最陡峭方向上升的速度为2，沿着x2轴的最陡峭方向上升的速度为12。