如何在 Python 中使用递归函数进行复杂问题求解？

递归函数是一种特殊的函数，它可以在自己内部调用自己来解决问题。相对于循环，递归算法可能会更为简洁和优雅。在 Python 中，递归函数的应用范围非常广泛，尤其在解决一些复杂问题时，它更是司空见惯。本文将着重探讨如何在 Python 中使用递归函数进行复杂问题求解。

1.什么是递归函数？

递归函数本质上是一种迭代的方式，但是相对于循环，递归函数更加简洁优雅。在 Python 中，一个函数可以在自身内部调用自身，这个函数就是递归函数。递归函数的基本条件就是自身调用自身，并且能够在每次调用之后，不断逼近基础情况，直到找到答案或者基础情况为止。具备这种特点的函数就被称为递归函数。

2.适合使用递归函数的场景

在我们编程实践中，什么样的场景适合使用递归函数呢？下面列出几项：

适合背景： 递归问题确保计算数目得到限制。 例如，许多递归方案，例如括号生成，只能有 $2^N$ 个结果，因此必须在运行时间内将它们显示出来。

适合背景： 当函数调用自身时，它几乎总是自己进行计算。例如树的深度优先遍历，每个节点只会计算其中一个个分支。

适合背景： 从底部自底向上计算的方案无法轻松使用，例如动态编程或递归的方案。

3.递归函数的实现与模板

在 Python 中处理递归问题，有一个模板是十分有用的——递归式模板（Recursive Template）。它被用于处理所有类型的递归问题，并且使用递归的方式来解决问题。

递归式模板通常包含以下三个部分：

递归函数的基本结构。

停止条件。

递归调用。

下面我们来看一下递归函数的一般实现方式。

（1）根据问题分解为子问题。

（2）递归函数处理子问题。

（3）将子问题组合为问题的解。

下面是一个模板实现：

def recursion(level, param1, param2, ...):

    # recursion terminator
    if level > MAX_LEVEL:
        process_result
        return

    # process logic in current level
    process(level, data, ...)

    # drill down
    self.recursion(level + 1, p1, ...)

    # reverse the current level status if needed

在模板中，我们应该明确四个方面：

明确每层要做的事情。

明确递归的结束条件。

明确每个子问题要变化的参数。

明确全局变量和局部变量在递归中的变化情况。

4.递归案例及实现方式

了解了递归函数的基本模板和适用场景之后，我们来看一下几个常见的递归案例，并学习如何在 Python 中使用递归函数进行复杂问题求解。

①斐波那契数列

斐波那契数列是指这样一个数列，它的第 $n$ 个数是 $0$ 和 $1$ 开始，之后的每个数都由前两个数相加而得出，即：

$$f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=2)$$

利用递归函数来实现斐波那契数列的求解，其核心思路是将问题逐层拆解，直到找到基础情况为止。具体实现方法如下：

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

该函数中的 $n$ 表示斐波那契数列中第 $n$ 个数，当 $n$ 为 0 或 1 时，斐波那契数列就已经求解完毕。当 $n$ 大于 1 时，我们可以通过递归函数，将 $f(n)$ 逐层拆解为 $f(n-1)$ 和 $f(n-2)$，直到 $n$ 等于 0 或 1 时，求解过程结束。

②爬楼梯

假设你正在爬楼梯，每次只能爬一步或者两步，求解爬到第 $n$ 级台阶的方法数。为了求解这个问题，我们可以用递归函数的方式解决，具体实现如下：

def climbStairs(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    else:
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2)

以 $n=4$ 为例，如果我们想要爬到第四阶台阶，那么我们可以将其分解为先走了一步到达第三级，再走一步到达第四级，或者先走了两步到达第二级，再走两步到达第四级。爬到第三级和第二级同理，可以用递归函数来解决求解问题。

③二叉树的遍历

二叉树的遍历是我们在学习数据结构时经常遇到的算法问题之一。在 Python 中，我们可以用递归函数来实现二叉树的前序遍历、中序遍历和后序遍历。下面以前序遍历为例，给出具体实现方式：

class TreeNode(object):
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def preorderTraversal(root):
    res = []
    def dfs(node):
        if not node:
            return
        res.append(node.val)
        dfs(node.left)
        dfs(node.right)
    dfs(root)
    return res

函数中的 $root$ 表示该二叉树的根节点，$res$ 用于记录节点遍历的结果。在函数内部，我们定义了一个递归函数 $dfs$，并分别遍历该节点的左子树和右子树，直到遍历完整棵树为止。

④字符串排列

在 Python 中，我们可以用递归函数来实现字符串的排列。具体的算法思路是将字符串中的各个字符逐一固定，然后再对剩余的字符递归进行处理，直到处理完整个字符串。下面给出一个具体的实现方式：

` python

def permutation(s):

res = []

c = list(s)

def dfs(x):

if x == len(c) - 1:

res.append(''.join(c))

return

d = set()

for i in range(x, len(c)):

if c[i] in d: continue

d.add(c[i])

c[i], c[x] = c[x], c[i]

dfs(x + 1)

c[i], c[x] = c[x], c