使用Munkres算法进行匈牙利最大匹配问题的求解

匈牙利算法，也称为Munkres算法或KM算法，是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法。该算法的基本思想是通过增广轨的方式不断扩展已有的匹配，直到无法再增广为止，得到的就是一个最大匹配。

以下是一个使用Munkres算法解决最大匹配问题的示例：

假设有一个二分图，左侧顶点集合为L，右侧顶点集合为R。我们的目标是找到L和R之间的最大匹配。

1.初始化：将所有顶点的标记都设置为0。

2.对于每个左侧的顶点u，找到u的相邻右侧的顶点v，并将v与u匹配。如果v没有被匹配，那么就将u和v匹配，并将u和v标记为已匹配，然后将u的相邻顶点的标记都设置为1。

3.如果存在未被匹配的右侧顶点v，则通过增广轨的方式找到一条从v开始的增广轨，并将整条增广轨上的匹配反转。

4.重复步骤2和步骤3，直到无法再找到增广轨为止。

下面通过一个具体的例子来说明Munkres算法的求解过程。

假设有以下二分图，其中L={1,2,3,4}，R={a,b,c,d}，边的权重表示两个顶点之间的匹配程度。

       a  b  c  d

    1  3  2  1  4

    2  2  4  3  1

    3  1  3  4  2

    4  2  1  2  3

1. 初始化，将所有顶点的标记都设置为0。

       a  b  c  d

    1  0  0  0  0

    2  0  0  0  0

    3  0  0  0  0

    4  0  0  0  0

2. 对于每个左侧的顶点u，找到u的相邻右侧的顶点v，并将v与u匹配。

   初始匹配：(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)

   设置标记：a, b, c, d标记为已匹配（1），其余标记为未匹配（0）。

       a  b  c  d

    1  1  0  0  0

    2  0  1  0  0

    3  0  0  1  0

    4  0  0  0  1

3. 如果存在未被匹配的右侧顶点v，则找到一条增广轨。

   在这个例子中，每一对未匹配的左侧顶点和未标记的右侧顶点构成一条增广轨（1 - a, 2 - b, 3 - c, 4 - d）。

   将增广轨上所有的匹配反转，得到新的匹配：(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)。

4. 重复步骤2和3，发现不存在未被匹配的右侧顶点，算法结束。

最终的最大匹配：(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)

通过Munkres算法，我们得到了该二分图的最大匹配。这个例子只包含了4个顶点，但Munkres算法可以应用于更大规模的二分图，并且具有较高的求解效率。