递归函数：了解递归函数的概念和应用，如求阶乘、斐波那契数列等

什么是递归函数？

递归函数是指在函数内部调用自身的函数。递归函数能够实现复杂的计算和操作，但如果使用不当，可能会导致程序出现无限循环的情况，或者浪费大量的内存空间。

递归函数求阶乘

阶乘是指从1到n连乘的结果，即n！=1×2×3×...×n。下面是一个求阶乘的递归函数：

def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorial(n-1)

这个函数先判断传入的n是否为0，如果为0则返回1，否则返回n乘以调用自身传入n-1的结果。例如，当调用factorial(5)时，将依次调用factorial(4)、factorial(3)、factorial(2)、factorial(1)和factorial(0)，当调用factorial(0)时，返回1，然后逐层返回结果，最终得到5×4×3×2×1=120。

递归函数求斐波那契数列

斐波那契数列是指从0开始，第0个数为0，第1个数为1，从第2个数开始，每个数都等于前两个数的和，依次类推。下面是一个求斐波那契数列的递归函数：

def fibonacci(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

这个函数先判断传入的n是否为0或1，如果是则返回0或1，否则返回调用自身传入n-1和n-2的结果之和。例如，当调用fibonacci(6)时，将依次调用fibonacci(5)、fibonacci(4)、fibonacci(3)、fibonacci(2)、fibonacci(1)和fibonacci(0)，当调用fibonacci(1)和fibonacci(0)时，返回1和0，然后逐层返回结果，最终得到0、1、1、2、3、5、8。

递归函数的应用

递归函数广泛应用于多领域的编程中，例如求解迷宫、树的遍历、搜索等。

求解迷宫的问题可以通过递归函数来实现。对于一个迷宫，初始位置为start，终点为end，墙用#表示，通路用.表示。我们可以先判断当前位置是否为终点，如果是则返回True；否则，假设可以向上、下、左、右四个方向移动，按照顺序依次尝试向四个方向移动，如果移动后的位置不在迷宫范围内、是墙、已经走过，则继续尝试下一个方向；否则，标记当前位置为已走过，然后递归调用自身传入移动后的位置，如果返回True，则说明找到了通路。如果四个方向都尝试过后仍然没有找到通路，则返回False。

树的遍历是指按照某种次序遍历树的所有节点。递归函数可以实现前序遍历、中序遍历和后序遍历。例如，对于以下二叉树：

      A
     / \
    B   C
   / \   \
  D   E   F

前序遍历是指先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树，遍历顺序是A、B、D、E、C、F。中序遍历是指先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树，遍历顺序是D、B、E、A、C、F。后序遍历是指先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点，遍历顺序是D、E、B、F、C、A。对于一个节点，先访问其左子树，然后访问其右子树，最后输出节点值即可，如下所示：

def preorder_traversal(tree):
    if tree:
        print(tree.value)
        preorder_traversal(tree.left)
        preorder_traversal(tree.right)

def inorder_traversal(tree):
    if tree:
        inorder_traversal(tree.left)
        print(tree.value)
        inorder_traversal(tree.right)

def postorder_traversal(tree):
    if tree:
        postorder_traversal(tree.left)
        postorder_traversal(tree.right)
        print(tree.value)

总结

递归函数是一种十分强大的工具，能够简化代码，提高效率。但是，递归函数也容易导致存在无限循环的问题，需要注意控制递归深度，避免出现递归过深的情况。在实际编程中，可以根据问题的需求和特点，选择合适的递归函数实现方式，以达到 的执行效果。