利用functools32lru_cache()函数实现Python中的记忆化递归

在Python中，记忆化递归是一种优化技术，它能够显著加速递归函数的执行速度。Python的标准库functools提供了lru_cache()函数来实现记忆化递归。lru_cache()函数是Least Recently Used（最近最少使用）的缩写，它能够缓存对递归函数的调用结果，以便在后续的调用中直接返回缓存的结果，从而避免重复计算。这样可以显著提高递归函数的性能。

下面是一个使用functools.lru_cache()函数实现记忆化递归的例子：

import functools

@functools.lru_cache()
def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

print(fibonacci(10))  # 输出：55

在这个例子中，我们定义了一个递归函数fibonacci()，它用来计算斐波那契数列的第n个数。斐波那契数列的定义是：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)（n > 1）。通过使用@functools.lru_cache()装饰器，我们将递归函数变成了一个记忆化递归函数。

在 次调用fibonacci(10)时，由于之前没有缓存结果，所以会执行完整的递归计算。在计算的过程中，每个调用都会将结果缓存起来。在后续的调用中，如果参数与之前的调用相同，那么就直接返回缓存的结果，而不再进行递归计算。

记忆化递归能够有效地减少递归函数的执行时间，特别是当递归函数的参数范围较大时。然而，使用lru_cache()函数时需要注意内存的使用情况。由于缓存是保存在内存中的，如果递归函数的参数范围过大或者递归深度过深，可能会导致内存消耗过大，甚至引发内存错误。

除了使用@functools.lru_cache()装饰器，还可以手动创建一个Cache对象，并使用其方法来实现记忆化递归，这种方式更加灵活，可以自定义缓存方式和缓存大小。