Python实现LBFGS算法求解最小二乘问题的案例研究

最小二乘问题是一种常见的优化问题，它的目标是找到一组参数，使得给定的函数与实际观测值之间的误差平方和最小。LBFGS（Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法是一种广泛用于优化问题的算法，特别适用于大规模问题和无约束问题。本文将介绍如何使用Python实现LBFGS算法求解最小二乘问题，并给出一个简单的案例研究。

首先，我们需要定义最小二乘问题的目标函数和观测值。假设我们有一个简单的线性模型，目标是找到最适合一组数据点的直线。观测数据可以用一个二维数组表示，每一行代表一个数据点， 列是自变量，第二列是因变量。

import numpy as np

# 定义观测数据
data = np.array([[1, 2],
                 [2, 3],
                 [3, 4],
                 [4, 5],
                 [5, 6]])

# 定义目标函数
def objective_function(params, x, y):
    slope, intercept = params
    predicted = slope * x + intercept
    return np.sum((predicted - y) ** 2)

接下来，我们需要使用LBFGS算法求解最小二乘问题。可以使用SciPy库中的minimize()函数来实现。我们还需要提供一个初始解。

from scipy.optimize import minimize

# 定义初始解
x0 = np.array([0, 0])

# 使用LBFGS算法求解最小二乘问题
res = minimize(objective_function, x0, args=(data[:, 0], data[:, 1]), method='L-BFGS-B')

# 打印结果
print(res)

上述代码中，minimize()函数通过method='L-BFGS-B'指定了使用LBFGS算法来求解最小二乘问题。args=(data[:, 0], data[:, 1])表示将观测数据作为额外参数传递给目标函数。

最后，我们可以将求解得到的最优参数进行绘图，以验证结果是否符合预期。

import matplotlib.pyplot as plt

# 绘制观测数据
plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1])

# 绘制最优直线
slope, intercept = res.x
x = np.linspace(0, 6, 100)
y = slope * x + intercept
plt.plot(x, y, 'r')

# 显示图形
plt.show()

上述代码中，我们使用Matplotlib库绘制了观测数据和最优直线。结果应该是图形中的红线与数据点尽可能接近。

通过上述示例，我们可以看到如何使用Python实现LBFGS算法求解最小二乘问题。LBFGS算法可以用于更复杂的优化问题，但在应用时需要根据具体问题进行调整和优化。