Haskell中的记忆化算法与动态规划技术

记忆化算法（Memoization）是一种优化技术，通过存储之前计算的结果以避免重复计算来提高程序的效率。在Haskell中，记忆化可以通过定义一个带有缓存的递归函数来实现。下面给出一个使用记忆化算法的斐波那契数列的例子。

首先，我们可以定义一个函数fib，该函数计算斐波那契数列的第n个数：

fib :: Int -> Integer
fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

然而，上述实现中存在重复计算。例如，计算fib 5时，我们会计算fib 4和fib 3，而计算fib 4时又会计算fib 3，导致fib 3被重复计算了两次。为了避免重复计算，我们可以使用记忆化算法进行优化。

记忆化算法的核心思想是使用一个缓存存储已计算的结果。我们可以定义一个全局的缓存变量，使用数组或映射（Map）来存储已计算的fib值。比如，我们可以使用一个映射来存储已计算的斐波那契数列的值：

import qualified Data.Map as Map

fib :: Int -> Integer
fib n = fib' n Map.empty
  where
    fib' 0 _ = 0
    fib' 1 _ = 1
    fib' n cache =
      case Map.lookup n cache of
        Just value -> value
        Nothing -> let
          value = fib' (n-1) cache + fib' (n-2) cache
          newCache = Map.insert n value cache
          in newCache seq value

在上述代码中，我们定义了一个fib'函数，它接收一个缓存作为参数。对于每个计算过程，我们首先检查缓存中是否已存在对应的计算结果。如果存在，我们直接返回该结果；如果不存在，我们计算斐波那契数列的值，并将其插入缓存中。为了确保缓存值的求值顺序与插入顺序一致，我们使用seq函数强制对newCache的求值。

使用记忆化算法后，计算斐波那契数列的值的效率将大大提高，避免了重复计算，同时也节省了内存空间。

动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在Haskell中，动态规划可以通过定义递归函数以及存储中间结果的数据结构来实现。

下面给出一个使用动态规划技术的例子：求解给定数组中最长递增子序列的长度。

import qualified Data.Vector as Vector

lis :: [Int] -> Int
lis xs = maximum $ Vector.toList $ Vector.create $ do
  memo <- Vector.new (length xs)
  let dp 0 = 1
      dp i = maximum [1 + dp j | j <- [0..i-1], xs !! j < xs !! i]
  forM_ [0..length xs - 1] $ \i -> do
    count <- liftM1 (+) (return 1) (maximum [dp j | j <- [0..i-1], xs !! j < xs !! i])
    Vector.write memo i count
  return memo

在上述代码中，我们使用代表最长递增子序列长度的memo向量来存储中间结果。我们定义了一个递归函数dp来计算memo向量的每个位置的值。对于每个位置i，我们计算其前面比它小的元素中的最长递增子序列的长度，并加上1，即dp j + 1，其中j的取值范围是从0到i-1。最后，我们返回memo向量中的最大值作为最长递增子序列的长度。

通过使用动态规划的技术，我们可以将原本复杂的问题分解为更小的子问题，并通过存储中间结果来避免重复计算，以提高程序的效率。